Podstawowa teoria, która pozwala przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona.

Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona:

Siła wypadkowa \( {\bf F}_{\text{wyp}} \) jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało. Jeżeli \( {\bf F}_{\text{wyp}}=0 \), to również przyspieszenie ciała \( {\bf a}=0 \), a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości, tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej.

Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.

Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona:

Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej, bo, gdy \( {\bf a}=0 \), to i \( {\bf F}_{\text{wyp}}=0 \). Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.

Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będziemy rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.

Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania \( {\bf F}=m{\bf a} \) zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora.

Więcej o układach inercjalnych i nieinercjalnych dowiesz się w module Siły bezwładności.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w równaniu drugiej zasady dynami Niutona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności sił. Zasada ta dotyczy również masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał tego układu.

Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi należącymi do danego układu nazywamy siłami wewnętrznymi. Na przykład w ciałach stałych są to siły oddziaływania sprężystego pomiędzy atomami, cząsteczkami. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli punkt \( i \) układu działa na punkt \( j \), to równocześnie punkt \( j \) działa na punkt \( i \) siłą równą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną \( {{\bf F}_{{i\rightarrow j}}=-{\bf F}_{{j\rightarrow i}}} \) .

Na punkty materialne układ mogą ponadto działać siły zewnętrzne, to jest siły pochodzące spoza układu. Druga zasada dynamiki Newtona dla układu \( n \) punktów materialnych przyjmuje więc postać

gdzie \( m_{i} \) oznacza masę \( i \)-tego punktu, \( a_{i} \) - jego przyspieszenie, \( F_{i} \) - wypadkową siłę działająca na ten punkt. W równaniu tym występuje suma wszystkich sił, to znaczy zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych. Jednak na podstawie pierwszego równania widzimy, że siły wewnętrzne znoszą się parami, więc ostatecznie wypadkowa wszystkich sił jest równa wypadkowej sił zewnętrznych.

Prześledźmy teraz zastosowanie zasad dynamiki na następującym przykładzie.

Przykład 1: Zastosowanie praw Newtona

Rozważmy układ trzech ciał o masach \( 3m \), \( 2m \) i \( m \) połączonych nieważkimi nitkami tak, jak na rysunku poniżej ( Rys. 1 ). Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą \( F \) po gładkim podłożu. Szukamy przyspieszenia układu i naprężeń nici łączących ciała.

Rysunek 1: Układ trzech mas połączonych nitkami, ciągnięty siłą \( {\bf F} \).

Reakcja podłoża \( R \) równoważy nacisk poszczególnych ciał tak, że siły działające w kierunku \( y \) (w pionie) równoważą się. Natomiast w kierunku \( x \) układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą \( F \), a oddziaływania są przenoszone przez nitki. Ciało o masie \( 3m \) działa na ciało o masie \( 2m \) siłą \( N_{1} \), a siła \( -N_{1} \) jest siłą reakcji na to działanie. Podobnie jest z siłami \( N_{2} \) i \( -N_{2} \). Przyspieszenie układu i siły naciągu nitek \( N_{1} \) i \( N_{2} \) obliczamy stosując drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała indywidualnie

(5)

\( \begin{matrix}{3ma=F-N_{{1}}}\\2ma=N_{{1}}-N_{{2}}\\ma=N_{{2}} \end{matrix} . \)

Sumując równania stronami i przekształcając otrzymujemy

(6)

\( a=\frac{F}{m+2m+3m}=\frac{F}{6m}. \)

Zwróćmy uwagę na addytywność mas. Taki sam wynik otrzymalibyśmy traktując ciała jak jedną masę. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał układu.

Podstawiając wynik ( 6 ) do równań ( 5 ) obliczamy naciągi nitek

Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać podobny problem.

Zadanie 1: Dwa klocki

Treść zadania:

Dwa klocki o jednakowych masach \( m_{1}=m_{2}=1 \) kg są połączone nieważką nitką przerzuconą przez nieważki bloczek tak, jak na rysunku poniżej ( Rys. 2 ). Oblicz przyspieszenie układu oraz naprężenie linki. Przyjmij, że klocek \( m_{2} \) porusza się po stolebez tarcia. Wynik zapisz poniżej.

Rysunek 2:

Wskazówka: Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała osobno i rozwiąż otrzymany układ równań \( a \) = \( N= \)

Rozwiązanie:

Dane: \( m_{1} \) = \( m_{2} \), przyspieszenie grawitacyjne \( g \).Na rysunku zaznaczamy siły działające w układzie

Rysunek 3:

Stosujemy drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała osobno:

(8)

\( \begin{matrix}{m_{{1}}a=mg-N}\\m_{{2}}a=N \end{matrix} \)

rozwiązując ten układ równań i uwzględniając, że \( m_{1} \) = \( m_2=m \) otrzymujemy

(9)

\( a=\frac{g}{2}N=\frac{mg}{2}. \)

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w drugiej zasadzie dynamiki Newtona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Możesz się o tym przekonać rozwiązując podane poniżej zadanie.

Zadanie 2: Klocek na równi pochyłej

Treść zadania:

Oblicz przyspieszenie z jakim porusza się klocek o masie \( m \) zsuwający się bez tarcia po równi pochyłej o kącie nachylenia \( \theta \) ( Rys. 4 ).
Rozwiązanie zapisz poniżej.
Wskazówka: Oblicz siłę wypadkową i jej składowe: równoległą i prostopadłą do równi. Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona dla każdej składowej.

Rysunek 4:

\( a = \)

Rozwiązanie:

Dane: \( m \), \( \theta \), przyspieszenie grawitacyjne \( g \)Na rysunku poniżej ( Rys. 5 ) pokazane są siły działające na klocek: ciężar klocka \( Q=m \) \( g \) i siła reakcji \( r \) (na nacisk klocka) wywierana na klocek przez płaszczyznę równi.

Rysunek 5:

Żeby wyliczyć siłę wypadkową należy dodać wektorowo te dwie siły

(10)

\( \mathit{ma}=Q+R. \)

Zaczynamy od wyboru układu współrzędnych. Wygodnie jest tak wybrać układ, żeby jedna oś, na przykład \( x \), była skierowana wzdłuż równi, a druga (oś \( y \)) prostopadle do niej. Wtedy wystarczy rozłożyć na składowe tylko jedną siłę \( Q \). W tak wybranym układzie współrzędnych składowe ciężaru wynoszą

(11)

\( \begin{matrix}{Q_{{x}}=mg\sin\theta} \\Q_{{y}}=mg\cos\theta \end{matrix} . \)

Składowa \( Q_y \) (nacisk na równię) jest równoważona przez reakcję równi \( R \). Natomiast składowa \( Q_x \) jest odpowiedzialna za przyspieszenie ciała. Możemy więc zastosować drugą zasadę dynamiki Newtona dla każdej składowej

(12)

\( \begin{matrix}{ma_{{x}}=mg\sin\theta}\\ma_{{y}}=R-mg\cos\theta \end{matrix} . \)

Stąd wynika, że przyspieszenie ciała wynosi \( {a=g\sin\theta } \) i jest skierowane wzdłuż równi. Już Galileusz korzystał z równi pochyłej do analizy ruchu przyspieszonego. Regulując wysokość równi (kąt \( \theta \)) możemy zmniejszać prędkość ruchu i tym samym ułatwić jego pomiar.

Bardziej zaawansowany przykład zastosowania zasad dynamiki możesz poznać w module Dodatek: Ruch w polu grawitacyjnym z uwzględnieniem oporu powietrza.